曲线积分难题:如何巧妙换元求解 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$?

wufei123 2025-03-12 阅读:71 评论:0
关于一道曲线积分的求解步骤详解 本文将详细解答一道曲线积分的计算难题,该题的核心在于一个巧妙的换元积分步骤。题目给出了一个定积分:$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$,并希望了解其计算过程中的关键步骤是如何推...

关于一道曲线积分的求解步骤详解

本文将详细解答一道曲线积分的计算难题,该题的核心在于一个巧妙的换元积分步骤。题目给出了一个定积分:$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$,并希望了解其计算过程中的关键步骤是如何推导出来的。

题目中,提问者尝试使用极坐标进行计算,但未能得到正确结果。实际上,这里并不需要用到极坐标变换。答案的关键在于一个简单的换元法。

我们可以选择 $y = sin(t)$ 作为换元。当 $y$ 从 0 变到 1 时,$t$ 则从 0 变到 $ rac{pi}{2}$。 需要注意的是,在这个区间 $[0, rac{pi}{2}]$ 内,$sin(t)$ 和 $cos(t)$ 都是非负的,因此 $sqrt{cos^2 t} = cos t$。

接下来,我们一步步进行换元:

首先,将 $y = sin(t)$ 代入积分式:

$int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$

替换 $y$ 和 $dy$:

$int_0^{ rac{pi}{2}} rac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}}dsin t$

利用三角恒等式 $1 - sin^2 t = cos^2 t$,并考虑到在积分区间内 $cos t$ 为正,可化简为:

$int_0^{ rac{pi}{2}} rac{sin^2t}{sqrt{cos^2t}}cos tdt$

最终简化得到:

$int_0^{ rac{pi}{2}}sin^2tdt$

这个积分式就相对容易计算了。 至此,我们就完成了从原积分到最终积分式的推导过程,解开了提问者关于换元步骤的疑惑。

以上就是曲线积分难题:如何巧妙换元求解 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$?的详细内容,更多请关注知识资源分享宝库其它相关文章!

版权声明

本站内容来源于互联网搬运,
仅限用于小范围内传播学习,请在下载后24小时内删除,
如果有侵权内容、不妥之处,请第一时间联系我们删除。敬请谅解!
E-mail:dpw1001@163.com

分享:

扫一扫在手机阅读、分享本文

发表评论
热门文章
  • BioWare埃德蒙顿工作室面临关闭危机,龙腾世纪制作总监辞职引关注(龙腾.总监.辞职.危机.面临.....)

    BioWare埃德蒙顿工作室面临关闭危机,龙腾世纪制作总监辞职引关注(龙腾.总监.辞职.危机.面临.....)
    知名变性人制作总监corrine busche离职bioware,引发业界震荡!外媒“smash jt”独家报道称,《龙腾世纪:影幢守护者》制作总监corrine busche已离开bioware,此举不仅引发了关于个人职业发展方向的讨论,更因其可能预示着bioware埃德蒙顿工作室即将关闭而备受关注。本文将深入分析busche离职的原因及其对bioware及游戏行业的影响。 Busche的告别信:挑战与感激并存 据“Smash JT”获得的内部邮件显示,Busche离职原...
  • boss直聘怎么取消面试预约 boss直聘上面试爽约了会怎么样(面试.爽约.预约.取消.boss.....)

    boss直聘怎么取消面试预约 boss直聘上面试爽约了会怎么样(面试.爽约.预约.取消.boss.....)
    求职宝典:boss直聘面试技巧及取消预约方法 各位求职者注意啦!在Boss直聘上,随意取消面试预约会留下爽约记录,影响后续求职!本文将指导您如何避免爽约,以及如何取消已预约的面试。 如何取消Boss直聘面试预约? 打开Boss直聘APP,进入“我的”页面。 点击“待面试”,查看面试日程。 选择需要取消的面试,点击“取消面试”按钮即可。 Boss直聘面试爽约的后果? 爽约行为会在HR端留下记录,影响您的求职成功率。其他HR也能看到您的不良记录,所以务必重视面试预约。...
  • 闪耀暖暖靡城永恒怎么样-闪耀暖暖靡城永恒套装介绍(闪耀.暖暖.套装.介绍.....)

    闪耀暖暖靡城永恒怎么样-闪耀暖暖靡城永恒套装介绍(闪耀.暖暖.套装.介绍.....)
    闪耀暖暖钻石竞技场第十七赛季“华梦泡影”即将开启!全新闪耀性感套装【靡城永恒】震撼来袭!想知道如何获得这套精美套装吗?快来看看吧! 【靡城永恒】套装设计理念抢先看: 设计灵感源于夜色中的孤星,象征着淡然、漠视一切的灰色瞳眸。设计师希望通过这套服装,展现出在虚幻与真实交织的夜幕下,一种独特的魅力。 服装细节考究,从面料的光泽、鞋跟声响到裙摆的弧度,都力求完美还原设计初衷。 【靡城永恒】套装设计亮点: 闪耀的绸缎与金丝交织,轻盈的羽毛增添华贵感。 这套服装仿佛是从无尽的黑...
  • 蛋仔派对2025最新皮肤兑换码汇总 最新皮肤兑换码一览(兑换.皮肤.最新.派对.汇总.....)

    蛋仔派对2025最新皮肤兑换码汇总 最新皮肤兑换码一览(兑换.皮肤.最新.派对.汇总.....)
    蛋仔派对2025最新皮肤兑换码大放送!游戏内新增多款皮肤兑换码,包含最新、福利和通用三种类型,助你轻松获取精美奖励! 赶紧来看看如何兑换吧! 兑换码列表: 最新兑换码: ccewndj4k4k、cdkqdfm4fh、peetnmp4ef、cdxymk8f67 福利兑换码: cca863ywtfa、eggy2310am、eggy2311gz、eggyeggy9wz 通用兑换码: pec74dkcty、jsrqkrrjmh、cd3wt7wrph、ccepn7d8cjf...
  • python怎么调用其他文件函数

    python怎么调用其他文件函数
    在 python 中调用其他文件中的函数,有两种方式:1. 使用 import 语句导入模块,然后调用 [模块名].[函数名]();2. 使用 from ... import 语句从模块导入特定函数,然后调用 [函数名]()。 如何在 Python 中调用其他文件中的函数 在 Python 中,您可以通过以下两种方式调用其他文件中的函数: 1. 使用 import 语句 优点:简单且易于使用。 缺点:会将整个模块导入到当前作用域中,可能会导致命名空间混乱。 步骤:...